Les mathématiques des cathédrales

Parmi tous les types de constructions de la période médiévale, la cathédrale est certainement la plus emblématique. D’un point de vue symbolique, elle représente la maison de Dieu et inspire la foi aux paroissiens. Au niveau politique, l’élévation d’une cathédrale plus majestueuse que celle de ses voisins devient une préoccupation. D’un angle technique et scientifique, la cathédrale est un véritable accomplissement.

La cathédrale médiévale est un haut lieu de la spiritualité chrétienne, la représentation même de la Jérusalem céleste mentionnée dans la Révélation selon Saint-Jean. Elle ne sera donc jamais assez grande, fantastique ou majestueuse pour atteindre cet idéal. Le passage du style architectural romanesque au style gothique répond à un besoin d’agrandissement de l’espace couvert par la cathédrale afin d’accueillir plus de fidèles, de membres du clergé et de reliques. Le développement du style gothique n’est toutefois pas seulement limité à une fonction pratique. En effet, le style est abrupt, pointu et escarpé : il représente symboliquement la topographie des grandes chaînes de montagnes de l’Europe (comme les Alpes ou les Pyrénées), à la fois impressionnantes, mais surtout un passage obligé pour la plupart des pèlerins. Les créatures mystiques que l’on retrouve perchées au sommet des cathédrales gothiques sont également conformes à l’analogie de la montagne puisque dans l’imaginaire médiéval, la cime des montagnes est l’antre des esprits maléfiques. Les gargouilles, très réalistes, rappellent d’une part aux fidèles que le mal n’est jamais bien loin, et servent d’autre part à repousser les véritables démons.

Les proportions et la géométrie

Figure 2: Représentation géométrique par Matthaüs Roritzer

Ce nouveau style architectural redéfinit la relation entre la forme et la fonction. L’architecture gothique fait preuve d’une grande précision, par exemple, dans la taille des blocs de la voûte, ne laissant aucune irrégularité dans les joints, ce qui suggère une nouvelle appréciation de la perfection. Cette précision n’aurait pu être atteinte sans l’importance qu’ont accordé les architectes à la géométrie lors du dessin du plan de la cathédrale. En effet, à partir d’une seule dimension, l’architecte peut construire son plan d’élévation uniquement à partir de polygones, plus particulièrement le carré, auquel il ajuste les proportions qu’il souhaite. Cette première dimension, dont sont dérivées toutes les proportions géométriques successives, est considérée comme la « vraie mesure ».  Cette technique d’élaboration des proportions des cathédrales gothiques constitue un secret professionnel durant tout le Moyen Âge, jusqu’à ce que Matthaüs Roritzer, constructeur de la cathédrale de Regensburg, la rende publique à la fin du XVe siècle. Cette méthode de travail est également attestée par l’architecte picard du XIIIe siècle Villard de Honnecourt. L’architecte utilise la forme du carré, ou de sa moitié (soit un triangle), pour déterminer la proportion de la base d’un cloître. Villard de Honnecourt s’en sert également dans son plan d’une des tours de la cathédrale de Laon, dont toutes les subdivisions horizontales sont dérivées de la « vraie mesure ». Transposé en trois dimensions, le carré devient un cube, permettant ainsi de calculer l’élévation de la cathédrale. L’utilisation du carré géométrique est attestée bien avant la période gothique, toutefois, elle devient essentielle lors de cette dernière. Nous savons par exemple que la façade de la cathédrale de Paris est composée d’une séquence de quatre carrés en accord avec la « vraie mesure ».

Figure 3: Tracé géométrique, Carnet de Villard de Honnecourt, f. 18v

S’il est vrai que la géométrie avait des usages pratiques, avec le gothique elle inclut davantage les aspects artistiques. Certes, l’utilisation de proportions plutôt que de mesures fixes a l’avantage de permettre une meilleure transposition aux différents milieux de construction : au Moyen Âge, les unités de mesure varient grandement d’une région à une autre. Cependant, les proportions en tant que « science » ne sont pas uniquement valides pour les mathématiques. En effet, dans le premier livre de son traité De musica, Saint Augustin définit la musique comme la « science de la bonne modulation ». L’auteur y explique qu’on n’a point besoin de connaissances en musique pour apprécier instinctivement une belle mélodie. Saint Augustin poursuit en expliquant que les plus beaux sons sont produits par des intervalles de parfaites consonances, soit l’octave, la quarte et la quinte. Il tisse donc un lien entre l’arithmétique et la musique, et affirme donc que les proportions parfaites sont la source de toute esthétique parfaite. Ce faisant, l’écoute d’une musique parfaitement proportionnée permet l’harmonie parfaite avec Dieu, et cette notion esthétique s’applique tout autant à l’harmonie visuelle d’un édifice construit selon des proportions parfaites. Or, l’esthétique augustinienne reçoit un second souffle au XIIe siècle, siècle du développement de l’architecture gothique, par les groupes platoniciens issus de l’école de Chartres; ville qui accueille d’ailleurs l’une des plus anciennes cathédrales gothiques (1145). Nous retrouvons également un exemple de la proportion parfaite, c’est à dire 1:2, dans le plan de l’abbaye de Fontenay (1130-1147). En se soumettant aux lois géométriques, l’architecte imite donc le Créateur divin et son travail acquiert du même fait une nature métaphysique importante.

Une autre façon de répartir le poids

Figure 4: Répartition des vecteurs de force sur les arcs-boutants. Crédits: Jean-Claude Golvin

L’utilisation de la géométrie a permis aux architectes médiévaux d’augmenter leur spectre de possibilités dans la construction des cathédrales. Comme mentionné précédemment, il est important pour les chrétiens du Moyen Âge d’ériger la plus haute et la plus belle cathédrale imaginable. Or, l’utilisation d’arches semi-circulaires, comme les Romains l’ont abondamment fait, limite la hauteur de l’arche à sa longueur. En effet, pour supporter le poids du bâtiment, l’arche reçoit une pression qui provient de deux vecteurs de force, soit un vertical et un horizontal. Si la maçonnerie supporte bien la compression causée par le premier, elle supporte très mal le second, ce qui constitue l’une des raisons d’écroulement des ponts médiévaux. L’utilisation généralisée de l’arche en ogive, si caractéristique de l’architecture gothique, est une innovation importante. Ce type d’arche, dont les premières traces remontent à l’Inde bouddhiste du deuxième siècle avant notre ère, a été transmis à l’Europe via les réseaux de commerce avec le monde arabe au XIe siècle. L’arche en ogive est plus efficace que l’arche semi-circulaire puisqu’elle transmet les vecteurs de force par un angle plus prononcé. De cette façon, le vecteur vertical est toujours supporté par une colonne, mais le vecteur horizontal est retransmis progressivement à la colonne suivante, ce qui diminue la tension, créant ainsi un ingénieux système d’arcs-boutants. L’architecture gothique est donc une élégante façon de résoudre le problème de la répartition des poids, en plus de permettre à ses bâtiments d’être plus élevés.

L’architecture gothique, emblématique du Moyen Âge chrétien, impressionne par la façon dont elle s’est élaborée. D’une part, elle répond aux besoins culturels de l’imaginaire médiéval, et, d’autre part, elle repose sur des connaissances qui sont avant tout empiriques. Rappelons toutefois que ces connaissances étaient loin d’être parfaites et exclusives : bien des pans de cathédrale se sont effondrés pendant leur construction, et nombreuses sont les cathédrales qui n’ont qu’une façade gothique et le reste du corps romanesque.


Pour en savoir plus…

SOURCES

RORITZER, Matthaüs. Das Büchlein von der Fialen Gerechtigkeit nach einem alten Drucke aus dem Jahr 1486 in die heutige Mundart übertragen und durch Anmerkungen erläutert. Munich, Lintz, 1845 (1486), 39 p.

HONNECOURT, Villard de. Album de dessins et croquis. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Manuscrit Français 19093, 1201-1300, 33 feuillets.

ÉTUDES

DU COLOMBIER, Pierre. Les chantiers des cathédrales. Paris, Picard, 1973 (1953), 163 p.

  • Bien qu’il date un peu, ce livre est un manuel de base pour s’initier à la construction des cathédrales médiévales. Abondamment illustré, cet ouvrage traite des différents aspects de la construction de ces chefs-d’oeuvre d’architecture, c’est-à-dire les tâches, les patrons, les ouvriers, les architectes et les sculpteurs selon des perspectives sociales et économiques. Les éléments présentés sont précis et convaincants.

ERLANDE-BRANDENBURG, Alain. La cathédrale. Paris, Fayard, 1989, 418 p.

  • S’attaquant à la vision romantique de la cathédrale issue du XIXe siècle, et plus précisément au portrait peint par Victor Hugo et les restaurations agressives d’Eugène Viollet-le-Duc, Erlande-Brandenburg retrace l’influence qu’a eue le christianisme sur les cathédrales médiévales durant son évolution. Son approche est précise et appuyée de nombreux exemples à travers toute l’Europe.

FINGESTEN, Peter. « Topographical and Anatomical Aspects of the Gothic Cathedral ». The Journal of Aesthetics and Art Criticism, Vol. 20, No. 1, 1961, p. 3-23.

  • Cet article tisse un lien intéressant entre la forme de la cathédrale gothique et l’imaginaire médiéval en s’appuyant sur des facteurs culturels et des passages bibliques.

GIMPEL, Jean. Les bâtisseurs de cathédrales. Paris, Seuil, 1961, 191 p.

  • Cette étude est un formidable outil pédagogique. À l’instar de l’étude de Pierre Du Colombier, celle-ci est également abondamment illustrée, mais elle se concentre davantage sur les aspects techniques de la construction des cathédrales.

HILL, Donald R. A History of Engineering in Classical and Medieval Times. New York, Rootledge, 1996 (1984), 263 p.

  • Ce livre de Donald Hill est un excellent ouvrage de synthèse des techniques d’ingénierie préindustrielle. Il présente avec succès l’évolution de l’ingénierie, une évolution sous le signe des influences grecques, romaines, perses, chinoises et arabes. Cet ouvrage touche toutes les facettes de l’ingénierie, soit le génie civil (irrigation, ponts, routes, dams, construction et arpentage), le génie mécanique (les machines d’élévation d’eau et les machines qui utilisent l’eau et le vent) et la technologie fine (instruments, automates et horloges).

SIMSON, Otto von. « The Gothic Cathedral: Design and Meaning ». Journal of the  Society of Architectural Historians, Vol. 11, No. 3, 1952, p. 6-16.

  • Cet article rassemble les trois aspects principaux qui ont été étudiés des cathédrales gothiques, c’est-à-dire la fonction (la solution gothique au problème du mouvement statique), la planification (l’expression de certains principes esthétiques) et la signification (le symbolisme spirituel). Concrètement, von Simson expose comment les cathédrales gothiques ont été pensées par les architectes médiévaux.

SIMSON, Otto von. The Gothic Cathedral: Origins of Gothic Architecture and the Medieval Concept of Order. New York, Pantheon Books, 1962 (1956), 275 p.

  • En s’appuyant sur plusieurs exemples, dont plusieurs sont français, von Simson explore la signification de la cathédrale médiévale et le processus par lequel la vision symbolique a pris une forme architecturale.


Pour toute question ou commentaire: Benoit.Buscemi@usherbrooke.ca

Pour citer cet article : Benoît Buscemi, « Les mathématiques des cathédrales », dans Via Moderna - Les sciences médiévales, publié le 14 juillet 2019, https://viamoderna.hypotheses.org/436.