Les mathématiques des cathédrales

Parmi tous les types de constructions de la période médiévale, la cathédrale est certainement la plus emblématique. D’un point de vue symbolique, elle représente la maison de Dieu et inspire la foi aux paroissiens. Au niveau politique, l’élévation d’une cathédrale plus majestueuse que celle de ses voisins devient une préoccupation. D’un angle technique et scientifique, la cathédrale est un véritable accomplissement.

La cathédrale médiévale est un haut lieu de la spiritualité chrétienne, la représentation même de la Jérusalem céleste mentionnée dans la Révélation selon Saint-Jean. Elle ne sera donc jamais assez grande, fantastique ou majestueuse pour atteindre cet idéal. Le passage du style architectural romanesque au style gothique répond à un besoin d’agrandissement de l’espace couvert par la cathédrale afin d’accueillir plus de fidèles, de membres du clergé et de reliques. Le développement du style gothique n’est toutefois pas seulement limité à une fonction pratique. En effet, le style est abrupt, pointu et escarpé : il représente symboliquement la topographie des grandes chaînes de montagnes de l’Europe (comme les Alpes ou les Pyrénées), à la fois impressionnantes, mais surtout un passage obligé pour la plupart des pèlerins. Les créatures mystiques que l’on retrouve perchées au sommet des cathédrales gothiques sont également conformes à l’analogie de la montagne puisque dans l’imaginaire médiéval, la cime des montagnes est l’antre des esprits maléfiques. Les gargouilles, très réalistes, rappellent d’une part aux fidèles que le mal n’est jamais bien loin, et servent d’autre part à repousser les véritables démons.

Les proportions et la géométrie

Figure 2: Représentation géométrique par Matthaüs Roritzer

Ce nouveau style architectural redéfinit la relation entre la forme et la fonction. L’architecture gothique fait preuve d’une grande précision, par exemple, dans la taille des blocs de la voûte, ne laissant aucune irrégularité dans les joints, ce qui suggère une nouvelle appréciation de la perfection. Cette précision n’aurait pu être atteinte sans l’importance qu’ont accordé les architectes à la géométrie lors du dessin du plan de la cathédrale. En effet, à partir d’une seule dimension, l’architecte peut construire son plan d’élévation uniquement à partir de polygones, plus particulièrement le carré, auquel il ajuste les proportions qu’il souhaite. Cette première dimension, dont sont dérivées toutes les proportions géométriques successives, est considérée comme la « vraie mesure ».  Cette technique d’élaboration des proportions des cathédrales gothiques constitue un secret professionnel durant tout le Moyen Âge, jusqu’à ce que Matthaüs Roritzer, constructeur de la cathédrale de Regensburg, la rende publique à la fin du XVe siècle. Cette méthode de travail est également attestée par l’architecte picard du XIIIe siècle Villard de Honnecourt. L’architecte utilise la forme du carré, ou de sa moitié (soit un triangle), pour déterminer la proportion de la base d’un cloître. Villard de Honnecourt s’en sert également dans son plan d’une des tours de la cathédrale de Laon, dont toutes les subdivisions horizontales sont dérivées de la « vraie mesure ». Transposé en trois dimensions, le carré devient un cube, permettant ainsi de calculer l’élévation de la cathédrale. L’utilisation du carré géométrique est attestée bien avant la période gothique, toutefois, elle devient essentielle lors de cette dernière. Nous savons par exemple que la façade de la cathédrale de Paris est composée d’une séquence de quatre carrés en accord avec la « vraie mesure ».

Figure 3: Tracé géométrique, Carnet de Villard de Honnecourt, f. 18v

S’il est vrai que la géométrie avait des usages pratiques, avec le gothique elle inclut davantage les aspects artistiques. Certes, l’utilisation de proportions plutôt que de mesures fixes a l’avantage de permettre une meilleure transposition aux différents milieux de construction : au Moyen Âge, les unités de mesure varient grandement d’une région à une autre. Cependant, les proportions en tant que « science » ne sont pas uniquement valides pour les mathématiques. En effet, dans le premier livre de son traité De musica, Saint Augustin définit la musique comme la « science de la bonne modulation ». L’auteur y explique qu’on n’a point besoin de connaissances en musique pour apprécier instinctivement une belle mélodie. Saint Augustin poursuit en expliquant que les plus beaux sons sont produits par des intervalles de parfaites consonances, soit l’octave, la quarte et la quinte. Il tisse donc un lien entre l’arithmétique et la musique, et affirme donc que les proportions parfaites sont la source de toute esthétique parfaite. Ce faisant, l’écoute d’une musique parfaitement proportionnée permet l’harmonie parfaite avec Dieu, et cette notion esthétique s’applique tout autant à l’harmonie visuelle d’un édifice construit selon des proportions parfaites. Or, l’esthétique augustinienne reçoit un second souffle au XIIe siècle, siècle du développement de l’architecture gothique, par les groupes platoniciens issus de l’école de Chartres; ville qui accueille d’ailleurs l’une des plus anciennes cathédrales gothiques (1145). Nous retrouvons également un exemple de la proportion parfaite, c’est à dire 1:2, dans le plan de l’abbaye de Fontenay (1130-1147). En se soumettant aux lois géométriques, l’architecte imite donc le Créateur divin et son travail acquiert du même fait une nature métaphysique importante.

Une autre façon de répartir le poids

Figure 4: Répartition des vecteurs de force sur les arcs-boutants. Crédits: Jean-Claude Golvin

L’utilisation de la géométrie a permis aux architectes médiévaux d’augmenter leur spectre de possibilités dans la construction des cathédrales. Comme mentionné précédemment, il est important pour les chrétiens du Moyen Âge d’ériger la plus haute et la plus belle cathédrale imaginable. Or, l’utilisation d’arches semi-circulaires, comme les Romains l’ont abondamment fait, limite la hauteur de l’arche à sa longueur. En effet, pour supporter le poids du bâtiment, l’arche reçoit une pression qui provient de deux vecteurs de force, soit un vertical et un horizontal. Si la maçonnerie supporte bien la compression causée par le premier, elle supporte très mal le second, ce qui constitue l’une des raisons d’écroulement des ponts médiévaux. L’utilisation généralisée de l’arche en ogive, si caractéristique de l’architecture gothique, est une innovation importante. Ce type d’arche, dont les premières traces remontent à l’Inde bouddhiste du deuxième siècle avant notre ère, a été transmis à l’Europe via les réseaux de commerce avec le monde arabe au XIe siècle. L’arche en ogive est plus efficace que l’arche semi-circulaire puisqu’elle transmet les vecteurs de force par un angle plus prononcé. De cette façon, le vecteur vertical est toujours supporté par une colonne, mais le vecteur horizontal est retransmis progressivement à la colonne suivante, ce qui diminue la tension, créant ainsi un ingénieux système d’arcs-boutants. L’architecture gothique est donc une élégante façon de résoudre le problème de la répartition des poids, en plus de permettre à ses bâtiments d’être plus élevés.

L’architecture gothique, emblématique du Moyen Âge chrétien, impressionne par la façon dont elle s’est élaborée. D’une part, elle répond aux besoins culturels de l’imaginaire médiéval, et, d’autre part, elle repose sur des connaissances qui sont avant tout empiriques. Rappelons toutefois que ces connaissances étaient loin d’être parfaites et exclusives : bien des pans de cathédrale se sont effondrés pendant leur construction, et nombreuses sont les cathédrales qui n’ont qu’une façade gothique et le reste du corps romanesque.


Pour en savoir plus…

SOURCES

RORITZER, Matthaüs. Das Büchlein von der Fialen Gerechtigkeit nach einem alten Drucke aus dem Jahr 1486 in die heutige Mundart übertragen und durch Anmerkungen erläutert. Munich, Lintz, 1845 (1486), 39 p.

HONNECOURT, Villard de. Album de dessins et croquis. Paris, Bibliothèque Nationale de France, Manuscrit Français 19093, 1201-1300, 33 feuillets.

ÉTUDES

DU COLOMBIER, Pierre. Les chantiers des cathédrales. Paris, Picard, 1973 (1953), 163 p.

  • Bien qu’il date un peu, ce livre est un manuel de base pour s’initier à la construction des cathédrales médiévales. Abondamment illustré, cet ouvrage traite des différents aspects de la construction de ces chefs-d’oeuvre d’architecture, c’est-à-dire les tâches, les patrons, les ouvriers, les architectes et les sculpteurs selon des perspectives sociales et économiques. Les éléments présentés sont précis et convaincants.

ERLANDE-BRANDENBURG, Alain. La cathédrale. Paris, Fayard, 1989, 418 p.

  • S’attaquant à la vision romantique de la cathédrale issue du XIXe siècle, et plus précisément au portrait peint par Victor Hugo et les restaurations agressives d’Eugène Viollet-le-Duc, Erlande-Brandenburg retrace l’influence qu’a eue le christianisme sur les cathédrales médiévales durant son évolution. Son approche est précise et appuyée de nombreux exemples à travers toute l’Europe.

FINGESTEN, Peter. « Topographical and Anatomical Aspects of the Gothic Cathedral ». The Journal of Aesthetics and Art Criticism, Vol. 20, No. 1, 1961, p. 3-23.

  • Cet article tisse un lien intéressant entre la forme de la cathédrale gothique et l’imaginaire médiéval en s’appuyant sur des facteurs culturels et des passages bibliques.

GIMPEL, Jean. Les bâtisseurs de cathédrales. Paris, Seuil, 1961, 191 p.

  • Cette étude est un formidable outil pédagogique. À l’instar de l’étude de Pierre Du Colombier, celle-ci est également abondamment illustrée, mais elle se concentre davantage sur les aspects techniques de la construction des cathédrales.

HILL, Donald R. A History of Engineering in Classical and Medieval Times. New York, Rootledge, 1996 (1984), 263 p.

  • Ce livre de Donald Hill est un excellent ouvrage de synthèse des techniques d’ingénierie préindustrielle. Il présente avec succès l’évolution de l’ingénierie, une évolution sous le signe des influences grecques, romaines, perses, chinoises et arabes. Cet ouvrage touche toutes les facettes de l’ingénierie, soit le génie civil (irrigation, ponts, routes, dams, construction et arpentage), le génie mécanique (les machines d’élévation d’eau et les machines qui utilisent l’eau et le vent) et la technologie fine (instruments, automates et horloges).

SIMSON, Otto von. « The Gothic Cathedral: Design and Meaning ». Journal of the  Society of Architectural Historians, Vol. 11, No. 3, 1952, p. 6-16.

  • Cet article rassemble les trois aspects principaux qui ont été étudiés des cathédrales gothiques, c’est-à-dire la fonction (la solution gothique au problème du mouvement statique), la planification (l’expression de certains principes esthétiques) et la signification (le symbolisme spirituel). Concrètement, von Simson expose comment les cathédrales gothiques ont été pensées par les architectes médiévaux.

SIMSON, Otto von. The Gothic Cathedral: Origins of Gothic Architecture and the Medieval Concept of Order. New York, Pantheon Books, 1962 (1956), 275 p.

  • En s’appuyant sur plusieurs exemples, dont plusieurs sont français, von Simson explore la signification de la cathédrale médiévale et le processus par lequel la vision symbolique a pris une forme architecturale.


Pour toute question ou commentaire: Benoit.Buscemi@usherbrooke.ca

Pour citer cet article : Benoît Buscemi, « Les mathématiques des cathédrales », dans Via Moderna - Les sciences médiévales, publié le 14 juillet 2019, https://viamoderna.hypotheses.org/436.

L’impetus et le mouvement des projectiles

La théorie de l’impetus est un cas particulièrement efficace pour s’initier à la physique médiévale. En plus de mobiliser plusieurs éléments centraux à la philosophie naturelle aristotélicienne, elle présente les enjeux d’une période charnière de l’histoire de la physique. Tout ça, sous la forme d’une théorie qui frappe l’imaginaire.

Pour les penseurs médiévaux, le système naturel aristotélicien constitue le cadre de réflexion le plus fonctionnel. Ce dernier couvre une étendue impressionnante d’éléments qui rendent fidèlement compte du cours naturel des choses. Pourtant, plusieurs problèmes demeurent sans réponse.

Parmi ceux-ci, le mouvement des projectiles et l’un des plus persistant.

Mais d’où vient le problème ?

Le Livre VII de la Physique d’Aristote s’ouvre sur ce passage : « tout ce qui est en mouvement est mû par quelque chose. » (Omne quod movetur ab alio movetur) À première vue, l’explication ne semble pas problématique. Après tout, une pierre ne s’envole pas subitement sans raison et un chariot ne se déplace pas sans être poussé ou tiré. En contrepartie, lorsqu’une pierre est lancée et quitte la main qui l’a projeté, elle demeure en mouvement pendant un certain temps. Entre ce moment et le moment où elle reprend sa direction naturelle vers le sol, la pierre en mouvement est-elle mue par quelque chose ? Selon le cadre de pensée aristotélicien, c’est nécessaire. Seulement, Aristote ne fournit aucune explication satisfaisante.

Depuis l’écriture de la Physique jusqu’au XIVe siècle, plusieurs tentatives de solutions vont être formulées par des auteurs grecs, arabes ou latins. Nous en retiendrons ici deux de la tradition péripatéticienne.

Mouvement d’un projectile par antipéristase

Une première solution fonctionne par antipéristase. Il faut d’abord comprendre que la nature aristotélicienne ne permet pas la présence de vide. Ce faisant, lorsqu’un objet se déplace, l’espace qu’il occupait auparavant doit instantanément être comblé par quelque chose d’autre, généralement de l’air. L’air qui afflux donc rapidement derrière le projectile agirait comme moteur permettant au projectile de poursuivre sa course et ainsi de suite. Si c’est le cas, comment se fait-il qu’on ait généralement l’impression que l’air nous résiste plutôt que de nous propulser ? Cette solution, qui ne semblait déjà pas satisfaire le Stagirite, n’a pas trouvé de partisans chez les penseurs médiévaux.

Une seconde solution, similaire à la première, défend que lorsqu’un objet en mit en mouvement, l’air qui l’entoure est également mis en mouvement. L’air transporte ainsi l’objet, ce dernier devant néanmoins pousser l’air qui se trouve devant lui, expliquant la sensation de résistance et l’épuisement éventuel de la projection. Cette solution suppose donc que la propulsion reçue par l’air est supérieure à la résistance. Lorsque la relation s’inverse, l’objet poursuit sa course vers sa position naturelle, c’est-à-dire le sol. Suivant cette logique, il serait par exemple possible de pousser la même quantité d’air sur une pierre sans jamais entrer en contact direct avec celle-ci et supposer qu’elle parcourt la même distance. Ce n’est cependant pas ce que l’expérience nous permet d’observer. Qui plus est, cette solution signifie que lorsque deux objets de densités différentes sont projetés à la même vélocité, le projectile le moins dense devrait parcourir une plus longue distance. L’observation nous montre pourtant que c’est l’inverse.

Comment donc allier l’observation et la raison ?

Incapables de résoudre adéquatement le problème, les penseurs vont s’interroger sur la nature du mouvement. Si notre perception de la nature ne permet pas d’expliquer pourquoi les projectiles se déplacent après leur propulsion, faut-il en déduire que le mouvement implique quelque chose d’imperceptible ? Est-ce que cette chose est commune à tous les projectiles, ou est-ce une qualité transmise par le propulseur ? Ce genre de question a animé plusieurs disputes aux XIIIe et XIVe siècles; et les solutions ont été toutes aussi nombreuses.

Parmi les théories développées, celle de Jean Buridan est sans conteste la mieux connue. Enseignant à l’Université de Paris depuis le milieu de la décennie 1320 jusqu’à au moins 1358, il présentera à plusieurs reprises sa théorie de l’impetus expliquant le mouvement des projectiles. Selon Buridan, lorsqu’une chose est mise en mouvement, une qualité de mouvement est imprimée (imprimit) dans le mobile par le moteur. Cette qualité est permanente dans l’objet, et y demeure tant qu’elle n’est pas corrompue.

[…] it seems to me that it ought to be said that the motor in moving a moving body impresses (imprimit) in it a certain impetus (impetus) or a certain motive force (vis motiva) of the moving body, [which impetus acts] in the direction toward which the mover was moving the moving body, either up or down, or laterally, or circularly. And by the amount the motor moves that moving body more swiftly, by the same amount it will impress in it a stronger impetus. It is by that impetus that the stone is moved after the projector ceases to move. But that impetus is continually decreased (remittitur) by the resisting air and by the gravity of the stone, which inclines it in a direction contrary to that in which the impetus was naturally predisposed to move it.

Jean Buridan, Quaestiones super octo libros Physicorum Aristotelis, Livre VIII, Question 12[1]

Un point original formulé par Buridan est son identification de deux variables influençant l’intensité du mouvement. En effet, si la vélocité joue évidemment un rôle dans l’efficacité de l’impetus, il faut également prendre en compte la « quantité de matière » dans le projectile :

Hence by the amount more there is of matter, by that amount can the body receive more of that impetus and more intensely (intensius). Now in a dense and heavy body, other things being equal, there is more of prime matter than in a rare and light one. Hence a dense and heavy body receives more of that impetus and more intensely, just as iron can receive more calidity than wood or water of the same quantity.

Buridan poursuit en expliquant que, plus l’impetus est intense, plus il est difficile à corrompre. C’est d’ailleurs pour cette raison qu’il faut plus d’effort pour ralentir un objet dense et rapide en comparaison à un projectile léger.

Un dernier point incontournable soulevé par le penseur parisien est que l’impetus ne peut pas s’altérer soi-même. Cela signifie que l’impetus doit être intensifié ou corrompu par un élément extérieur pour que la vélocité d’un objet soit modifiée; supposant donc la possibilité d’un mouvement infini dans un vide hypothétique.

Tendance naturelle d’un mobile selon l’élément dominant.

Par l’élaboration de cette théorie, Buridan offre du même coup une explication satisfaisante de l’accélération des objets en chute libre; un autre problème sans réelle solution au XIVe siècle. Puisque la tendance naturelle d’un objet à rejoindre son élément dominant lui est inhérente, l’objet en chute libre reçoit constamment une intensité d’impetus qui s’ajoute à la précédente. En théorie, une chute infinie entrainerait une vitesse infinie.

En somme, l’impetus est une qualité permanente présente dans le mobile et intensifiée par un moteur extérieur. Ce n’est pas exactement une force comme nous le concevons, mais doit plutôt être perçu comme un niveau d’efficacité du mouvement.

L’impetus, un rôle concret dans l’histoire de la physique ?

There is no doubt that it prepared the way for the law of inertia. The theory of impetus occupies an important and enduring place in the history of natural philosophy and physics as an independent stage of development between Aristotelianism and classical mechanics. In this role of connecting link it furnished the illustrious founders of modern science with the point of departure for the development of their new theories.

Anneliese Maier, The Significance of the Theory of Impetus for Scholastic Natural Philosophy[2]

Depuis les travaux pionniers de Pierre Duhem au début du XXe siècle, la théorie de l’impetus a été étudiée de fond en comble par les historiens des sciences. Cette manière de comprendre le mouvement, à l’allure quasi quantitative, n’est pas sans rappeler le principe d’inertie. En fait, ces principes supposent tous les deux qu’un corps ne modifiera sa vitesse qu’en présence d’une influence extérieure. Qui plus est, plus la masse (ou quantité de matière) est élevée, plus l’effort nécessaire à modifier sa vitesse est grand. Bref, quiconque connaît le développement de la physique moderne aura de la difficulté à ignorer l’analogie entre les deux théories.

Cette approche déterministe cache cependant plusieurs risques.

Pour débuter, elle favorise une conception linéaire de la science, la présentant comme une succession de découvertes. Entre l’Aristotélisme et la physique moderne, l’impetus agit comme un pont; mais est-ce réellement pour la théorie qu’elle présente, ou plutôt pour sa manière d’aborder les concepts fondamentaux d’espace, de temps et de mouvement ?

Gravure de Walther H. Ryff, 1582, Wikimedia Commons

Ensuite, le parallèle entre l’impetus et l’inertie crée un décalage entre l’analyse de la théorie médiévale en soi et l’analyse de sa validité face à la science moderne. Plusieurs chercheurs, même récents, soulignent les « erreurs » de la théorie de l’impetus. Ce faisant, on extirpe les penseurs du XIVe siècle du cadre de pensée à partir duquel ils travaillent. On oublie du même coup les enjeux qui sous-tendent la réflexion de Buridan. Par exemple, si l’impetus n’est ni le mouvement, ni l’objet en mouvement, est-ce une chose réelle ajoutée à l’objet ? Est-ce seulement un outil du langage permettant de décrire l’intensité d’un mouvement ?

Finalement, présenter l’impetus comme précurseur de la physique moderne lui donne une importance démesurée. Si la théorie de Buridan permet de résoudre partiellement un problème persistant, elle ne constitue pas un changement de paradigme en soi. L’impetus n’est pas la cause d’un changement d’approche dans l’étude du mouvement, mais plutôt un résultat. La théorie n’a pas manqué de rallier plusieurs partisans, mais elle ne confirme pas pour autant un renouvellement dans la discipline.

Pour conclure, l’analyse de la théorie de l’impetus de Jean Buridan nous permet de plonger directement dans la résolution de problèmes naturels au XIVe siècle. On y remarque un système aristotélicien toujours irremplaçable, mais nécessitant quelques ajustements. À travers des débats de sens et de métaphysique, la raison mobilise l’observation pour éclairer, une fois de plus, une anomalie de la nature.


NOTES

[1] Sauf indication contraire, les citations sont extraites de Marshall Clagett trad., « Jean Buridan. The Impetus Theory of Projectile Motion », dans Edward Grant, A Source Book in Medieval Science, Volume 1, Cambridge, Harvard University Press, 1974, p. 275-280.

[2] Anneliese Maier, « The Significance of the Theory of Impetus for Scholastic Natural Philosophy », dans Steven D. Sargent trad., On the Threshold of Exact Science, Berlin, De Gruyter, 1982, p. 77.


Pour en savoir plus…

SOURCES

CLAGETT, Marshall trad. « Jean Buridan. The Impetus Theory of Projectile Motion ». dans Edward Grant, A Source Book in Medieval Science, Volume 1, Cambridge, Harvard University Press, 1974, p. 275-280.

    • La traduction de Clagett est accompagnée d’un commentaire complet. Elle demeure la meilleure version disponible. 

ÉTUDES

SARGENT, Steven D. trad., Anneliese Maier, On the Threshold of Exact Science, Berlin, De Gruyter, 1982, p. 77.

    • Traduite en anglais, cette sélection d’études d’Anneliese Maier formule une approche prudente des concepts médiévaux du mouvement. Bien que les chapitres datent du milieu du XXe siècle, ils demeurent pertinents.

GRANT, Edward. Physical science in the Middle Ages. Cambridge, Cambridge University Press, 1977, 128 p.

    • Grant explore abondamment une théorie analogue à celle de Buridan, développée par le philosophe arabe Avicenne.

MURDOCH, John E. et Edith D. SYLLA. « The Science of Motion ». dans David C. LINDBERG, Science in the Middle Ages, Chicago, University of Chicago Press, 1980, p. 206-264

    • La démarche présentée par Sylla et Murdoch permet de bien voir la profondeur du problème. Bien qu’ils ne développent pas longuement sur la théorie de l’impetus, ils abordent la majorité des enjeux sous-jacents.

FRANCO, Abel B. « Avempace, Projectile Motion, and Impetus Theory », Journal of the History of Ideas, vol. 64, no 4 (2003), p. 521-546.

    • Cet article est surtout pertinent pour voir les différentes théories concernant le mouvement des projectiles avant le XIIIe siècle.

CLAGETT, Marshall. The Science of Mechanics in the Middle Ages. Madison, University of Wisconsin Press, 1959, 711 p.

    • Malgré une approche fondamentalement déterministe, Clagett est incontournable sur la question. Plusieurs chapitres traitent de l’impetus et ses nombreuses transformations. Le lecteur doit néanmoins demeurer attentif à ne pas tomber dans une lecture linéaire de l’histoire de la physique.


Pour toute question ou commentaire : Yanick.Laverdiere@usherbrooke.ca

Pour citer cet article : Yanick Laverdière, « L’impetus et le mouvement des projectiles », dans Via Moderna - Les sciences médiévales, publié le 5 juin 2019, https://viamoderna.hypotheses.org/396.